воскресенье, 8 июня 2014 г.

Функции и графики (ряд Тейлора)

Пример 4. Частичные суммы ряда Тейлора

Задача: Нарисовать графики частичных сумм ряда Тейлора для функции f(x) = e^x. 

Последовательность действий:  


  1. Воспользуемся  разложением в ряд Тейлора для произвольной функции f(x). Этот ряд в общем случае имеет вид:


  2. в частности, для нашей функции ряд запишется так:



  3. Последовательно введем значения для частичных сумм последнего ряда, воспользовавшись самой общей формулой:

    • F(x)=e^x
    • s0=F(0)
    • s1(x)=s0(x)+F'(0)/1!*x
    • s2(x)=s1(x)+F''(0)/2!*x^2
    • s3(x)=s2(x)+F'''(0)/3!*x^3
    • s4(x)=s3(x)+F''''(0)/4!*x^4
    • s5(x)=s4(x)+F'''''(0)/5!*x^5
    • и т.д.


  4. В панели ПОЛОТНО будут отображаться графики всех 6 частичных сумм ряда Телора и график исходной функции F(x). Можно использовать различную расцветку для каждой функции, выключить отображение некоторых промежуточных частичных сумм. На рисунке отчетливо видно "приближение" графиков частичных сумм к графику исходной функции в окрестности точки х=0.

Результаты:



Так будут выглядеть графики при очень сильном увеличении в окрестности точки (0,1). Как видим, график функции и многочлена Тейлора 5-го порядка практически совпадают.

Комментариев нет:

Отправить комментарий